1. スクリプトファイルを用意する

エディタツールで下記をコピペしてファイルを作成します。ファイル名はなんでも構いません。ここではググって参考にさせていただいているファイル名と同じ「SaveLayersPNGDefault.jsx」にしています。

SaveLayersPNGDefault.jsx

var folder = Folder.selectDialog();
var document = app.activeDocument;
if(document && folder)
{
var options = new ExportOptionsPNG24();
options.antiAliasing = true;
options.transparency = true;
options.artBoardClipping = true;

var n = document.layers.length;
for(var i=0; i<n; ++i)
{
hideAllLayers();
var layer = document.layers[i];
layer.visible = true;

var file = new File(folder.fsName+"/"+layer.name+".png");

document.exportFile(file,ExportType.PNG24,options);
}

showAllLayers();
}

function hideAllLayers()
{
forEach(document.layers, function(layer) {
layer.visible = false;
});
}

function showAllLayers()
{
forEach(document.layers, function(layer) {
layer.visible = true;
});
}

function forEach(collection, fn)
{
var n = collection.length;
for(var i=0; i<n; ++i)
{
fn(collection[i]);
}
}

2. スクリプトファイルを置く

作成したファイル「SaveLayersPNGDefault.jsx」は下記のフォルダの中に置きます（Adobe Illustrator CC 2018のところは適宜ご自身のバージョンに置き換える）。

/アプリケーション/Adobe Illustrator CC 2018/Presets/ja_JP/スクリプト

ちなみに、Windowsだと下記のようです（未確認）。

C:/Program Files/Adobe/Adobe Illustrator CC XXXX/ja_JP/プリセット/スクリプト

以上で、事前準備は終わりです。

レイヤーごとにPNGで書き出す

1. イラストレーターを起動し、レイヤーごとにPNGで書き出したいファイルを開きます。
2. 「ファイル」→「スクリプト」→「SaveLayersPNGDefault.jsx」を選択します。
3. 保存場所を指定します。

はい、できました！

余談：PNGの解像度を変更する

先ほどの参考にさせていただいたサイトでは、異なる解像度でPNGファイルに書き出すスクリプトファイルも紹介されていました。

SaveLayersPNG200dpi.jsx

200dpiの解像度で書き出す

var folder = Folder.selectDialog();
var document = app.activeDocument;
if(document && folder)
{
var options = new ExportOptionsPNG24();
options.antiAliasing = true;
options.transparency = true;
options.artBoardClipping = true;
options.verticalScale = 277.777;
options.horizontalScale = 277.777;

var n = document.layers.length;
for(var i=0; i<n; ++i)
{
hideAllLayers();
var layer = document.layers[i];
layer.visible = true;

var file = new File(folder.fsName+"/"+layer.name+".png");

document.exportFile(file,ExportType.PNG24,options);
}

showAllLayers();
}

function hideAllLayers()
{
forEach(document.layers, function(layer) {
layer.visible = false;
});
}

function showAllLayers()
{
forEach(document.layers, function(layer) {
layer.visible = true;
});
}

function forEach(collection, fn)
{
var n = collection.length;
for(var i=0; i<n; ++i)
{
fn(collection[i]);
}
}

SaveLayersPNG300dpi.jsx

300dpiの解像度で書き出す

var folder = Folder.selectDialog();
var document = app.activeDocument;
if(document && folder)
{
var options = new ExportOptionsPNG24();
options.antiAliasing = true;
options.transparency = true;
options.artBoardClipping = true;
options.verticalScale = 416.667;
options.horizontalScale = 416.667;

var n = document.layers.length;
for(var i=0; i<n; ++i)
{
hideAllLayers();
var layer = document.layers[i];
layer.visible = true;

var file = new File(folder.fsName+"/"+layer.name+".png");

document.exportFile(file,ExportType.PNG24,options);
}

showAllLayers();
}

function hideAllLayers()
{
forEach(document.layers, function(layer) {
layer.visible = false;
});
}

function showAllLayers()
{
forEach(document.layers, function(layer) {
layer.visible = true;
});
}

function forEach(collection, fn)
{
var n = collection.length;
for(var i=0; i<n; ++i)
{
fn(collection[i]);
}
}

まとめる

これらのjsxファイルを一つのフォルダ内にまとめて、フォルダごと「/アプリケーション/Adobe Illustrator CC XXXX/Presets/ja_JP/スクリプト」に置くこともできます（変更した場合は、イラストレーターを再起動します）。
自分の場合はフォルダ名を「レイヤーごとに書き出し」として、その中に、jsxファイルを入れています。